Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AD$ là đáy lớn, $BC$ là đáy nhỏ). Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, M là giao điểm của $SB$ và mặt phẳng $(CDE)$, N là giao điểm của $SC$ và mặt phẳng $(EFM)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang AD∥BC, K=AB∩CD, E,F trung điểm SA,SD, M=SB∩(CDE), N=SC∩(EFM).

d) Mặt phẳng (CDE) chứa K (vì K∈CD) và chứa E. Mặt phẳng (SAB) chứa K (vì K∈AB) và chứa E, đồng thời chứa đường thẳng SB. Vậy (CDE)∩(SAB)=EK, mà M∈SB⊂(SAB) và M∈(CDE) nên M∈EK. → Đúng.

c) Vì M∈EK nên mặt phẳng (EFM) chính là mặt phẳng (KEF). Mặt phẳng này cắt (SBC) theo giao tuyến đi qua M và N (N∈SC⊂(SBC), N∈(EFM)). Vậy MN=(KEF)∩(SBC). → Đúng.

a) EF là đường trung bình của tam giác SAD nên EF∥AD; mà AD∥BC nên EF∥BC, suy ra EF∥(SBC). Giao tuyến của (KEF) với (SBC) là MN nên MN∥EF∥AD. Vì AD⊂(SAD) và MN⊄(SAD) nên MN∥(SAD). → Đúng.

c) (đã chứng minh trên).

b) Kiểm tra bằng tọa độ: đặt S là gốc, A=a, B=b, C=c, D=a+m(c−b) với m≠1 (hình thang thật, AD là đáy lớn). Tính được M=λb với λ=m/(m+1) (do M∈(CDE)) và N=μc với μ=m/(m+1) (do N∈(EFM)). Khi đó vector EM=λb−a/2 còn NF=F−N=a/2−(m/2)b+[m(m−1)/(2(m+1))]c. Thành phần theo c của NF khác 0 khi m≠1, nên EM không song song NF. → Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng — khớp với bảng đáp án chính thức mã đề 1002 (Đ S Đ Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
EF∥AD (đường trung bình tam giác SAD) và EF∥BC nên EF∥(SBC). Giao tuyến MN của (KEF)=(EFM) với (SBC) nên MN∥EF∥AD, do đó MN∥(SAD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ S=0, D=a+m(c−b), m≠1, ta có M=N tham số λ=μ=m/(m+1); vector EM=λb−a/2 còn NF=a/2−(m/2)b+[m(m−1)/(2(m+1))]c có thành phần theo c khác 0, nên EM không song song NF.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì M∈EK nên (EFM)=(KEF); giao tuyến của (KEF) và (SBC) đi qua M và N, tức là MN.
d) (AI giải đề cho tôi)
(CDE)∩(SAB)=EK vì cả hai mặt phẳng cùng chứa E và K; M thuộc SB⊂(SAB) và M∈(CDE) nên M∈EK.