Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SC,SD$. a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC)$. b) Chứng minh $(OMN)//(SAB)$. c) Tìm giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (1,5 điểm)

a) Xét hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$:
- Ta có $S\in (SAD)\cap (SBC)$.
- Trong đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, với $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$, do đó giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (đồng thời song song với $BC$).
Vậy $(SAD)\cap (SBC)=d$, với $d$ là đường thẳng qua $S$ và $d\parallel AD\parallel BC$.

b) Trong tam giác $SCD$: $M$ là trung điểm $SC$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$, do đó $MN\parallel AB\subset (SAB)$, suy ra $MN\parallel (SAB)$.

Trong tam giác $SAC$: $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$; $M$ là trung điểm $SC$. Suy ra $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, nên $OM\parallel SA\subset (SAB)$, suy ra $OM\parallel (SAB)$.

Ta có: $OM\parallel (SAB)$, $MN\parallel (SAB)$, $OM$ và $MN$ cắt nhau tại $M$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(OMN)$; mặt phẳng $(OMN)$ không trùng $(SAB)$ (vì $O\notin (SAB)$). Vậy $(OMN)\parallel (SAB)$.

c) Xét tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SC$ nên $OM\parallel SA$.
Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $SO$ (hai đường chéo của hình thang $ASCM$ với $AS\parallel OM$ nên chúng cắt nhau).
- $I\in AM$.
- $I\in SO$, mà $SO\subset (SBD)$ (vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $O\in BD$), suy ra $I\in (SBD)$.
Vậy $I=AM\cap SO$ chính là giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$, tức $AM\cap (SBD)=\{I\}$ với $I=AM\cap SO$.