Giới hạn $\lim \frac{2}{n^3}$ bằng

Cho hai dãy số $(u_n),(v_n)$ thỏa mãn ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=-4$, ${\lim }_{n\to +\infty }{v}_n=12$. Khi đó ${\lim }_{n\to +\infty }(u_n+v_n)$ bằng

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=18$ và $u_2=3$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_1+u_2+\dots +u_n)$.

Cho các dãy số $(x_n),(y_n),(z_n)$ được xác định bởi $x_1=3$, $y_1=4$, $z_1=5$ và
$$x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},y_{n+1}=\frac{y_n+z_n}{2},z_{n+1}=\frac{z_n+x_n}{2},\forall n\ge 1$$
(1) Chứng minh ba số $x_n,y_n,z_n$ là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 12 với mọi $n\ge 1$.
(2) Đặt $d_n=(x_n-y_n{)}^2+(y_n-z_n{)}^2+(z_n-x_n{)}^2$. Chứng minh dãy $(d_n)$ hội tụ và tính ${\lim }_{n\to \infty }{d}_n$.

Cho dãy số $\{u_n\}$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2026}+u_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
Tính: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.

Cho một hình vuông có cạnh bằng $a$. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông đó để tạo ta một hình vuông nhỏ hơn. Từ hình vuông này, người ta lại thực hiện công việc như trên để tạo ra một hình vuông nhỏ hơn nữa và cứ thực hiện công việc như thế mãi mãi. Tính tổng của tất cả các diện tích hình vuông đó.

Xét dãy vô hạn các hình vuông $V_1,V_2,V_3\dots$ được đặt kề nhau như hình vẽ. Trong đó, $V_1$ có cạnh bằng 1 và kể từ hình vuông thứ hai trở đi, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ cạnh hình vuông kề trước nó. Một con kiến xuất phát từ đỉnh $A$ của $V_1$, đi ngang sang phải và dọc xuống dưới theo các nét tô đậm của tất cả các hình vuông. Tính quãng đường đi được của con kiến.