Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $CB,SD,SC$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$; $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $CB,SD,SC$.

a) SAI. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng chứa $S$ nên giao tuyến $\Delta$ đi qua $S$. Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$, suy ra $AD\parallel \Delta$, tức $\Delta \parallel AD\parallel BC$. Mà $AB\parallel CD$ (không song song với $AD/BC$), do đó $\Delta$ không song song với $AB$. Mệnh đề sai.

b) SAI. $M\in (ABCD)$ còn $N\in SD$ không thuộc $(ABCD)$; đường thẳng $MN$ không nằm cùng mặt phẳng với $CD$ và không cắt $CD$ ($CD\parallel AB$, $MN$ đi lên phía $S$), hai đường thẳng chéo nhau. Mệnh đề sai.

c) SAI. Trong tam giác $SBC$, $MP$ là đường trung bình nên $MP\parallel SB$, do đó $MP\parallel (SBD)$. Mặt phẳng $(MNP)$ và $(SBD)$ có điểm chung $N$ (vì $N\in SD\subset (SBD)$ và $N\in (MNP)$). Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(SBD)$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $MP$ (tức song song $SB$), không phải $NB$. Mệnh đề sai.

d) ĐÚNG. Trong tam giác $SAC$: $P$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $PO\parallel SA$. Xét mặt phẳng $(MNP)$: vì $MP\parallel SB$ và $O$ là trung điểm $BD$... cụ thể, dùng tọa hóa: đặt $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $O(1/2,1/2,0)$, $S(a,b,1)$ thì $M(1,1/2,0)$, $N(a/2,(b+1)/2,1/2)$, $P((a+1)/2,(b+1)/2,1/2)$. Kiểm tra thấy $O$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(MNP)$ (mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình dạng $y=1/2+z/2$ độc lập với $a,b$), nên $O\in (MNP)$. Do đó $(MNP)\cap (SAC)$ là đường thẳng $PO$ (vì $P,O$ đều thuộc cả hai mặt phẳng, $P\in SC\subset (SAC)$). Suy ra giao điểm của $MN$ với $(SAC)$ chính là giao điểm của $MN$ với $PO$. Mệnh đề đúng.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn.

a) $\Delta$ đi qua $S$ và $\Delta \parallel AD\parallel BC$ (vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (SBC)$ suy ra $AD\parallel \Delta$). Vì $AB\parallel CD$ nên $AB$ không song song với $AD$, do đó $\Delta$ không song song với $AB$.

b) $M$ thuộc $(ABCD)$, $N$ thuộc cạnh $SD$ (không thuộc $(ABCD)$); $MN$ và $CD$ chéo nhau nên không cắt nhau.

c) $MP$ là đường trung bình tam giác $SBC$ nên $MP\parallel SB\Rightarrow MP\parallel (SBD)$. $(MNP)$ và $(SBD)$ có điểm chung $N$, nên giao tuyến là đường thẳng qua $N$ song song $SB$, không phải $NB$.

d) $P$ trung điểm $SC$, $O$ trung điểm $AC$ nên $PO\parallel SA$. Mặt phẳng $(MNP)$ chứa $O$ (kiểm tra bằng tọa hóa: với $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $S(a,b,1)$, mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình $y=1/2+z/2$, và $O(1/2,1/2,0)$ thỏa mãn). Vậy $(MNP)\cap (SAC)=PO$, nên giao điểm của $MN$ với $(SAC)$ là $MN\cap PO$.