Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi các điểm $I,T$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC$.

a) Xác định giao tuyến của $(IAC)$ và $(SBD)$.

b) Xác định giao tuyến của $(IAC)$ và $(SCD)$.

c) Chứng minh $IT\parallel AD$.

d) Xác định giao điểm của $AI$ và $(BDT)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: a) Ta có $I\in SB\subset (SBD)$ và $A\in (IAC)$. Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành), khi đó $O\in AC\subset (IAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $I,O$, suy ra giao tuyến của $(IAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $IO$.

b) Trong tam giác $SBC$: $I$ là trung điểm $SB$, $T$ là trung điểm $SC$ nên $IT$ là đường trung bình, do đó $IT\parallel BC$. Mà $BC\parallel AD$ (hình bình hành $ABCD$) nên $IT\parallel AD$. Vì $IT\subset (IAC)$ và $AD\not\subset (IAC)$ nên $AD\parallel (IAC)$. Hai mặt phẳng $(IAC)$ và $(SCD)$ có điểm chung $C$; giao tuyến qua $C$ và song song với $AD$ (cũng song song $IT$). Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ (nó chính là đường thẳng $CT$ vì $T\in (SCD)$, $CT\subset$ đường trung bình song song $AD$... chính xác hơn: giao tuyến là đường thẳng $d$ qua $C$ sao cho $d\parallel AD$; do $IT\parallel AD$ và $IT\subset (IAC)$, đường thẳng này cắt $(SCD)$ theo hướng song song $AD$, tức giao tuyến là đường qua $C$ song song $AD$).

c) Như trên: $IT$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ nên $IT\parallel BC$; vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Suy ra $IT\parallel AD$ (điều phải chứng minh).

d) Xét $(SAC)$: $O$ là trung điểm $AC$, $T$ là trung điểm $SC$ nên $OT\parallel SA$. Vì $O\in BD\subset (BDT)$ và $T\in (BDT)$ nên $OT\subset (BDT)$, suy ra $SA\parallel (BDT)$. Khi đó $(BDT)\cap (SAB)$ là đường thẳng qua $B$ song song với $SA$ (vì $B$ chung, và mặt phẳng $(SAB)$ chứa $SA$ song song $(BDT)$). Gọi $K$ là giao điểm của $AI$ với đường thẳng qua $B$ song song $SA$; khi đó $K=AI\cap (BDT)$. Cụ thể: trong mặt phẳng $(SAB)$, tam giác $KBI$ đồng dạng với tam giác $SAI$ (do $KB\parallel SA$) với $IB=IS$ nên $IK=IA$, tức $I$ là trung điểm $AK$ và $KB=SA$. Vậy giao điểm của $AI$ và $(BDT)$ là điểm $K$ đối xứng với $A$ qua $I$ (điểm $K$ nằm trên đường thẳng qua $B$ song song với $SA$, với $KB=SA$).