Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ và $BC$. Gọi $E$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với cạnh $SA$. Biết tỉ số $\frac{SE}{SA}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính $2m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ vectơ với gốc S: gọi $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

Ta có:
$$\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{b}}{2},\overrightarrow{SN}=\frac{\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}}{2},\overrightarrow{SP}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}.$$

Điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ nên $\overrightarrow{SE}=t\vec{a}$, tức $\frac{SE}{SA}=t$. Vì $E\in (MNP)$, tồn tại $u,v$ sao cho:
$$\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{SM}+u(\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM})+v(\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM}).$$
Tính: $\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{a}+\vec{c}-2\vec{b}}{2}$, $\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{c}}{2}$. Suy ra:
$$\overrightarrow{SE}=\frac{\vec{b}}{2}+\frac{u}{2}\vec{a}+\frac{u}{2}\vec{c}-u\vec{b}+\frac{v}{2}\vec{c}.$$
So sánh hệ số với $t\vec{a}$ (các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ độc lập tuyến tính):
- Hệ số của $\vec{b}$: $\frac{1}{2}-u=0\Rightarrow u=\frac{1}{2}$.
- Hệ số của $\vec{c}$: $\frac{u+v}{2}=0\Rightarrow v=-\frac{1}{2}$.
- Hệ số của $\vec{a}$: $t=\frac{u}{2}=\frac{1}{4}$.

Vậy $\frac{SE}{SA}=\frac{1}{4}$, tức $m=1,n=4$ (phân số tối giản), do đó $2m+n=2+4=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đáp án 6).