Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $A^{\prime }$ là điểm trên đoạn $SA$ sao cho $S{A}^{\prime }=\frac{2}{3}SA$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A^{\prime }$ cắt các cạnh $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $SO,A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{D}^{\prime }$ đồng quy tại $I$.

b) Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{SB}{S{B}^{\prime }}+\frac{SD}{S{D}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

a) Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (SAC)$, $B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (SBD)$, và $(SAC)\cap (SBD)=SO$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, vì $S{A}^{\prime }=\frac{2}{3}SA<SA$ và $C^{\prime }$ nằm trên đoạn $SC$, đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song với $SO$ (nếu song song thì theo định lý Thales $\frac{S{A}^{\prime }}{SA}=\frac{S{C}^{\prime }}{SC}=\frac{2}{3}$, tức $C^{\prime }$ phải thỏa tỉ số đó — nhưng $C^{\prime }$ là giao của $(\alpha )$ với $SC$ nói chung không thỏa), nên $A^{\prime }{C}^{\prime }$ cắt $SO$ tại $I$. Tương tự $B^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt $SO$ tại $I^{\prime }$. Vì $I\in A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (\alpha )$, $I^{\prime }\in B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (\alpha )$ và $I,I^{\prime }\in SO$: nếu $I\ne I^{\prime }$ thì $SO\subset (\alpha )$, suy ra $S\in (\alpha )$, khi đó $(\alpha )\cap SB=S$ tức $B^{\prime }=S$, mâu thuẫn với $B^{\prime }$ nằm trên cạnh $SB$ với $B^{\prime }\ne S$. Vậy $I=I^{\prime }$, ba đường thẳng $SO,A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{D}^{\prime }$ đồng quy tại $I$.

b) Chọn hệ vectơ gốc $S$: đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$ với $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$ (do $ABCD$ là hình bình hành). Vì $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow{SO}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Vì $I\in SO$, đặt $\overrightarrow{SI}=k(\vec{a}+\vec{c})=k(\vec{b}+\vec{d})$.

Trong $(SAC)$: $I\in A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{SI}=\lambda \overrightarrow{S{A}^{\prime }}+(1-\lambda )\overrightarrow{S{C}^{\prime }}=\frac{2\lambda }{3}\vec{a}+(1-\lambda )y\vec{c}$ với $y=\frac{S{C}^{\prime }}{SC}$. So sánh hệ số: $\frac{2\lambda }{3}=k$ và $(1-\lambda )y=k$, suy ra $\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=\frac{1}{y}=\frac{1-\lambda }{k}=\frac{1}{k}-\frac{3}{2}$.

Trong $(SBD)$: $I\in B^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{SI}=\mu x\vec{b}+(1-\mu )z\vec{d}=k(\vec{b}+\vec{d})$ với $x=\frac{S{B}^{\prime }}{SB},z=\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$. So sánh hệ số: $\mu x=k$, $(1-\mu )z=k$, suy ra $\frac{SB}{S{B}^{\prime }}+\frac{SD}{S{D}^{\prime }}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{\mu +1-\mu }{k}=\frac{1}{k}$.

Do đó $T=\frac{SB}{S{B}^{\prime }}+\frac{SD}{S{D}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=\frac{1}{k}-\left(\frac{1}{k}-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}$.