Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AD=3AM$. Gọi $G,N$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $SAB,ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;h)$ với $h>0$.

a) Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (cũng song song với $CD$), không song song với $AC$ hay $BD$. → Sai.

b) $AD=3AM\Rightarrow M(0;\frac{1}{3};0)$. Trọng tâm tam giác $ABC$: $N(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$. Đường $MN$ nằm trong mặt phẳng đáy $(z=0)$ với phương trình $y=\frac{1}{3}$; đường $SD$ chỉ gặp mặt phẳng đáy tại $D(0;1;0)$, mà $D\notin MN$ (vì $1\ne \frac{1}{3}$). Ngoài ra $MN$ không song song với $SD$ (vectơ chỉ phương của $SD$ là $(0;1;-h)$). Vậy $MN$ và $SD$ chéo nhau. → Đúng.

c) Đường thẳng $MN$: $y=\frac{1}{3},z=0$, song song với $CD$ (nằm trên $y=1,z=0$). Vì $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ nên $MN\parallel (SCD)$. → Đúng.

d) Trọng tâm tam giác $SAB$: $G(\frac{1}{3};0;\frac{h}{3})$. Đường $NG$ có vectơ chỉ phương $\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};-\frac{h}{3}\right)$ nên trên nó $x-y=\frac{1}{3}$ không đổi, trong khi mặt phẳng $(SAC)$ có phương trình $x=y$ (tức $x-y=0$). Vậy $NG\parallel (SAC)$, không cắt mặt phẳng này. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (cũng song song với $CD$), không song song với $AC$ hay $BD$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;h)$: $M(0;\frac{1}{3};0)$, trọng tâm tam giác $ABC$ là $N(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$. Đường $MN$ nằm trong mặt phẳng đáy $(z=0)$ với phương trình $y=\frac{1}{3}$; đường $SD$ chỉ gặp mặt phẳng đáy tại $D(0;1;0)$, mà $D\notin MN$. Ngoài ra $MN$ không song song với $SD$ (SD có phương $(0;1;-h)$). Vậy $MN$ và $SD$ chéo nhau. → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $M(0;\frac{1}{3};0),N(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$, đường $MN$ có phương trình $y=\frac{1}{3},z=0$, song song với $CD$ (trên đường thẳng $y=1,z=0$). Vì $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$, theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (SCD)$. → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $SAB$: $G(\frac{1}{3};0;\frac{h}{3})$; $N(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$. Vectơ chỉ phương của $NG$ là $\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};-\frac{h}{3}\right)$, có thành phần theo $x$ và $y$ bằng nhau, nên trên đường $NG$ ta luôn có $x-y=\frac{1}{3}$ (không đổi). Mặt phẳng $(SAC)$ có phương trình $x=y$, tức $x-y=0\ne \frac{1}{3}$. Vậy $NG$ song song với $(SAC)$ và không cắt mặt phẳng này. → Sai.