Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thap $ABCD$ với $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $SD$ thỏa mãn $SM=\frac{1}{3}SD$. Mặt phẳng $(ABM)$ cắt cạnh bên $SC$ tại điểm $N$. Biết $SC=k.SN$ (với k là một số thực). Tìm k.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (SBC)$. Mặt phẳng $(ABM)$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $d$ đi qua $N$ và $d\parallel AD$ (định lý về giao tuyến song song với đường thẳng song song với mặt phẳng). Suy ra $d\parallel BC$ cũng tức là $d\parallel DC$ (vì $BC\parallel AD$, và trong mặt phẳng $(SDC)$, đường thẳng qua $N$ song song với $AD$ chính là đường song song với $DC$ do $AD\parallel BC$). Vì $M\in (ABM)$ và $M\in (SDC)$ nên $M$ nằm trên giao tuyến của $(ABM)$ với $(SDC)$; do đó trong mặt phẳng $(SDC)$, ta có $MN\parallel DC$. Theo định lý Thales (hình bình hành/đường trung bình trong tam giác $SDC$): $\frac{SN}{SC}=\frac{SM}{SD}=\frac{1}{3}$. Vậy $SC=3SN$, tức $k=3$.