Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\cos 2x+5\sin x+2$ với $x\in \left[\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6}\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left[\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6}\right]$ thì $t\in \left[\frac{1}{2};1\right]$. Khi đó $y=\cos 2x+5\sin x+2=1-2{\sin }^{2}x+5\sin x+2=-2t^2+5t+3$. Hàm $f(t)=-2t^2+5t+3$ có đỉnh tại $t=\frac{5}{4}>1$ nên đồng biến trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$, do đó $y$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=1$ (tức $x=\frac{\pi }{2}$): $y_{\max }=-2+5+3=6$.