Một chất điểm $M$ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng $O$ với phương trình $x(t)=5\cos \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm). Trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của chất điểm $M$ tại thời điểm $t$. Hỏi trong $10s$ đầu tiên thì chất điểm $M$ đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ ở vĩ độ $40^{\circ }$ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm (không nhuận) được cho bởi hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Hỏi trong 1 năm có mấy ngày ở thành phố $A$ có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời?

Cho phương trình $20\sin 3x=m$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng 151 nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{201\pi }{4}\right]$?

Hằng ngày, mực nước của một con sông lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (đơn vị là mét) của mực nước con sông được đo tại vị trí một cây cầu bắc ngang qua sông này tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $(0\le t<24)$ được cho bởi công thức $h(t)=5\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{4}\right)+16$. Gọi $t_o$ là thời gian sớm nhất trong ngày để độ sâu của mực nước sông tại vị trí đó là lớn nhất. Giá trị của $t_o$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=\left(\frac{\cos 2x+\sin x}{\sin x-1}-1\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}-\frac{3m+1}{2}\right)$ với $m$ là tham số. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Hàm số $f(x)+\sin x\cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $4\pi$.

c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d) $\forall m\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$ thì phương trình $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.

Số nghiệm của phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ trên đoạn $[0;2\pi ]$ là

Cho hàm số $f(x)=\cot x$ có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ có bao nhiêu giá trị của $x$ để $\cot x=0$.