Hằng ngày, mực nước của một con sông lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (đơn vị là mét) của mực nước con sông được đo tại vị trí một cây cầu bắc ngang qua sông này tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $(0\le t<24)$ được cho bởi công thức $h(t)=5\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{4}\right)+16$. Gọi $t_o$ là thời gian sớm nhất trong ngày để độ sâu của mực nước sông tại vị trí đó là lớn nhất. Giá trị của $t_o$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=\left(\frac{\cos 2x+\sin x}{\sin x-1}-1\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}-\frac{3m+1}{2}\right)$ với $m$ là tham số. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Hàm số $f(x)+\sin x\cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $4\pi$.

c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d) $\forall m\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$ thì phương trình $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.

Số nghiệm của phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ trên đoạn $[0;2\pi ]$ là

Cho hàm số $f(x)=\cot x$ có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ có bao nhiêu giá trị của $x$ để $\cot x=0$.

Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ của phương trình lượng giác $\sin 2x=\frac{1}{2}$.

Biết tổng các nghiệm của phương trình $\sin (\pi \sin 2x)=1$ trên đoạn $[0;2\pi ]$ bằng $a\pi$. Tìm a.

Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung $AB$ biểu thị bởi đồ thị hàm số $y=\frac{38\sqrt{3}}{15}.\cos \frac{x}{18}+2$ với $x\in [-6\pi ;6\pi ]$ trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với đơn vị trục là mét (trục $Ox$ mô tả mặt nước sông) như hình minh họa:

Biết quy định chiều cao tối đa của các phương tiện giao thông hàng hóa qua lại dưới gầm cầu phải thấp hơn mặt dưới gầm ít nhất 0,8 mét. Một sà lan chở khối hàng hóa có hình dạng là một khối hộp chữ nhật với độ cao 5 mét so với mặt nước sông muốn đi qua gầm cầu. Tính bề rộng tối đa của khối hàng hóa để sà lan qua được gầm cầu đúng quy định (lấy số $\pi =3,1$).