Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ của phương trình lượng giác $\sin 2x=\frac{1}{2}$.

Biết tổng các nghiệm của phương trình $\sin (\pi \sin 2x)=1$ trên đoạn $[0;2\pi ]$ bằng $a\pi$. Tìm a.

Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung $AB$ biểu thị bởi đồ thị hàm số $y=\frac{38\sqrt{3}}{15}.\cos \frac{x}{18}+2$ với $x\in [-6\pi ;6\pi ]$ trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với đơn vị trục là mét (trục $Ox$ mô tả mặt nước sông) như hình minh họa:

Biết quy định chiều cao tối đa của các phương tiện giao thông hàng hóa qua lại dưới gầm cầu phải thấp hơn mặt dưới gầm ít nhất 0,8 mét. Một sà lan chở khối hàng hóa có hình dạng là một khối hộp chữ nhật với độ cao 5 mét so với mặt nước sông muốn đi qua gầm cầu. Tính bề rộng tối đa của khối hàng hóa để sà lan qua được gầm cầu đúng quy định (lấy số $\pi =3,1$).

Để rèn luyện sức khỏe bạn An tập thể dục vào mỗi buổi sáng và kết hợp chạy bộ trong một khoảng thời gian nhất định của mỗi buổi tập. Số phút chạy bộ của bạn An trong ngày thứ t của một tháng được cho bởi hàm số sau: $f(t)=30+40\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$, trong đó $f(t)$ tính bằng phút, $t\in \mathbb{Z}$ và $1\le t\le 31$. Bằng cách giải phương trình lượng giác, tính số ngày bạn An chạy bộ được 50 phút.

Số nghiệm phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$ thuộc đoạn $\left[2\pi ;4\pi \right]$ là

Một bánh xe đu có đường kính 20(m) và cách mặt đất 1(m) quay đều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ 0,5 vòng/phút. Một người ngồi trên bánh xe đu ở vị trí thấp nhất so với mặt đất. Hỏi mất bao nhiêu phút kể từ khi bánh xe đu bắt đầu hoạt động thì người này đạt độ cao 6(m) so với mặt đất lần thứ 6?

(3,0 điểm) Cho hàm số bậc hai là $f(x)=2x^2-3x-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(5\sin 2x-3m)=1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{2}\right]$.