Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA=2a$ vuông góc với mặt phẳng đáy.
a. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$, tính góc giữa $BM$ và mặt phẳng $(SAC)$.
b. Gọi G là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là trung điểm AC. Vì ABC đều nên BH ⟂ AC; SA ⟂ đáy nên SA ⟂ BH. Suy ra BH ⟂ (SAC), BH = a√3/2.
a) SC = √(SA² + AC²) = a√5, CM = a√5/2, BM = √(BC² + CM²) = √(a² + 5a²/4) = 3a/2. H là trung điểm AC, M là trung điểm SC nên HM là đường trung bình tam giác SAC, HM = SA/2 = a. Góc giữa BM và (SAC) là góc BMH: tanα = BH/HM = (a√3/2)/a = √3/2, nên α ≈ 40,9° ≈ 41°.
b) Thể tích S.ABC = (1/3)·(√3 a²/4)·2a = √3 a³/6. Tam giác SBC cân tại S với SB = SC = a√5, BC = a nên S_{SBC} = (a/4)√(4·5a² − a²) = a²√19/4. Khoảng cách từ A đến (SBC): d = 3V/S_{SBC} = (√3a³/2)/(a²√19/4) = 2a√57/19. G nằm trên đoạn AH với HG = AH/3, nên d(G,(SBC)) = d(A,(SBC))/3 = 2a√57/57. Cả hai kết quả khớp đáp án nguồn.