Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân có $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ nên $B{C}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }=3a^2\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}{a}^2\sin 120^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vì các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với đáy góc $30^{\circ }$ nên hình chiếu của $S$ xuống đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC$, và $SO=R\tan 30^{\circ }$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Theo định lý sin: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=a$. Suy ra $SO=a\tan 30^{\circ }=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a^3}{12}$. Vậy chọn D.