Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên $2a$, $M$ là trung điểm của $SA$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Chọn B
Gọi $N$ là trung điểm $BC$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó $SG\perp (ABC)$.
Ta có: $\{\begin{array}{rl}BC& \perp AN\\ BC& \perp SG\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAN)\Rightarrow (SBC)\perp (SAN)$.
Lại có $(SBC)\cap (SAN)=SN$. Kẻ $AH\perp SN$ tại $H\Rightarrow AH\perp (SBC)$.
Vì $M$ là trung điểm của $SA$ nên $d(M,(SBC))=\frac{1}{2}d(A,(SBC))=\frac{1}{2}AH$.
Xét tam giác $SAB$ có $SN=\sqrt{S{B}^2-B{N}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$.
$AN=\frac{a\sqrt{3}}{2},AG=\frac{2}{3}AN=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
$SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{33}}{3}$.
Diện tích tam giác $SAN$: $S_{\Delta SAN}=\frac{1}{2}SG\cdot AN=\frac{1}{2}AH\cdot SN\Rightarrow AH=\frac{SG\cdot AN}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{33}}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}}=\frac{a\sqrt{165}}{15}$.
Vậy $d(M,(SBC))=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{165}}{30}$.