Cho hình bình hành $ABCD$, tâm $O$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$ và $P$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc O (tâm hình bình hành), đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ thì $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$.

a) Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AP}=-4\overrightarrow{OA}$; mặt khác $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{OA}\ne -4\overrightarrow{OA}$. Sai.

c) $\vec{P}=-\frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{N}=\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}$. Điểm trên đường thẳng BN: $\vec{b}+t\left(\frac{-\vec{a}-3\vec{b}}{2}\right)$. Cho bằng $-\frac{1}{3}\vec{a}$: hệ số của $\vec{b}$ cho $t=\frac{2}{3}$, hệ số của $\vec{a}$ cũng cho $t=\frac{2}{3}$. Vậy $P$ nằm trên $BN$, tức $B,P,N$ thẳng hàng → phát biểu 'không thẳng hàng' sai.

d) $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$; $\vec{M}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$, $\vec{N}=-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=-\vec{M}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, tức $MN$ đi qua $O$. Ba đường thẳng $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$3\overrightarrow{AP}=-4\overrightarrow{OA}$ còn $3\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{OA}$, hai vectơ không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc $O$: $\vec{P}=-\frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{N}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}$; $\vec{P}=\vec{B}+\frac{2}{3}(\vec{N}-\vec{B})$ nên $B,P,N$ thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC$ và $BD$ cắt tại $O$; $\vec{N}=-\vec{M}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, ba đường thẳng đồng quy tại $O$.