Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ được cho trong hình dưới đây.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm $y=f^{\prime }(x)$ là parabol có đỉnh $(1;-4)$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, cắt trục tung tại $-2$. Do đó $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<2$.
a) Sai: $f^{\prime }(1)=-4\ne 0$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=2$ (không phải $x=1$).
b) Đúng: trên khoảng $(-1;2)$ đồ thị $f^{\prime }$ nằm dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$.
c) Sai: trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên khoảng đó, do đó $f$ không nghịch biến trên $(-\infty ;2)$.
d) Sai: $f$ đạt cực đại tại $x=-1$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$) và đạt cực tiểu tại $x=2$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ thành $+$); tại $x=1$ thì $f^{\prime }(1)\ne 0$ nên $f$ không đạt cực trị tại đó.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, nên $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(2)=0$; còn $f^{\prime }(1)=-4\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;2)$ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-\infty ;-1)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, do đó $f$ không nghịch biến trên toàn khoảng $(-\infty ;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$ nên $f$ đạt cực đại tại $x=-1$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải tại $x=1$ (vì $f^{\prime }(1)\ne 0$).