Cho hàm số $y=\frac{2x^2+2x-1-5m}{x-m}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{2x^2+2x-1-5m}{x-m}$, tập xác định $x\ne m$.

a) Sai: hàm số không xác định tại $x=m$.

b) $y^{\prime }=\frac{(4x+2)(x-m)-(2x^2+2x-1-5m)}{(x-m{)}^2}=\frac{2x^2-4mx+3m+1}{(x-m{)}^2}$. Hàm nghịch biến trên $(1;5)$ khi $f(x)=2x^2-4mx+3m+1\le 0$ trên $(1;5)$ và $m\notin (1;5)$. Vì $f$ là parabol hướng lên nên cần $f(1)=3-m\le 0$ và $f(5)=51-17m\le 0$, tức $m\ge 3$; kết hợp $m\notin (1;5)$ ta được $m\ge 5$. Các giá trị nguyên dương bé hơn 2024: $m\in \{5,6,\dots ,2023\}$ có $2023-5+1=2019$ giá trị. Đúng.

c) Với $m=0$: $y^{\prime }=\frac{2x^2+1}{x^2}>0$ nên hàm không có cực trị. Sai.

d) Hàm có hai cực trị khi $2x^2-4mx+3m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}$ (và khác $m$). Khi đó $x_1+x_2=2m$, $x_1{x}_2=\frac{3m+1}{2}$. Tại điểm cực trị: $2x^2=4mx-3m-1$ nên $y=\frac{(4m+2)x-8m-2}{x-m}$. Tính được $y_1+y_2=8m+4$, suy ra trung điểm hai điểm cực trị là $(m,4m+2)$, luôn nằm trên và hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng cố định $y=4x+2$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=m$ (mẫu bằng 0), nên không xác định với mọi $x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2-4mx+3m+1}{(x-m{)}^2}$. Nghịch biến trên $(1;5)$ yêu cầu $2x^2-4mx+3m+1\le 0$ trên $(1;5)$ và $m\notin (1;5)$. Do parabol hướng lên: $f(1)=3-m\le 0$ và $f(5)=51-17m\le 0$ cho $m\ge 3$; kết hợp $m\notin (1;5)$ được $m\ge 5$. Số giá trị nguyên dương $5\le m\le 2023$ là $2019$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$: $y^{\prime }=\frac{2x^2+1}{x^2}>0$ với mọi $x\ne 0$, hàm không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi có hai cực trị, $x_1+x_2=2m$, $x_1{x}_2=\frac{3m+1}{2}$; tại điểm cực trị $y=\frac{(4m+2)x-8m-2}{x-m}$. Tính ra $y_1+y_2=8m+4$, trung điểm hai điểm cực trị là $(m;4m+2)$ nên hai điểm cực trị luôn nằm trên đường thẳng cố định $y=4x+2$.