Cho hàm số $y=x^3+3x^2-mx+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3+3x^2-mx+1$, ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-m$.

a) Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2+6x-m$. Đúng.

b) Với $m=9$: $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$. Trên khoảng $(-3;1)$ ta có $x+3>0$, $x-1<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến trên $(-3;1)$, không đồng biến. Sai.

c) Với $m=-3$: $y^{\prime }=3x^2+6x+3=3(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (nói riêng đồng biến trên $(-\infty ;-1)$), không nghịch biến. Sai.

d) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x\in (-\infty ;0)$. $y^{\prime }=3x^2+6x-m$ có đỉnh tại $x=-1$ với giá trị nhỏ nhất $3-6-m=-3-m$. Cần $-3-m\ge 0\iff m\le -3$. Với $m=-3$, $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ nên hàm vẫn đồng biến trên $(-\infty ;0)$. Vậy khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=x^3+3x^2-mx+1$ là $y^{\prime }=3x^2+6x-m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=9$: $y^{\prime }=3(x+3)(x-1)<0$ trên $(-3;1)$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-3$: $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-m$ có giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ bằng $-3-m$. Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ khi $-3-m\ge 0\iff m\le -3$ (với $m=-3$, $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ vẫn cho hàm đồng biến).