Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=2x^3-3x^2,\forall x\in \mathbb{R}$, biết $f(1)=2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+3x$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2-x$ với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1;1$ và $2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng

Diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ bằng

Cho đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+4(C)$ và đường thẳng $d:y=2x-2$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn ${\int }_0^{4}f(x)dx=F(4)-G(0)+2m$, với $m>0$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x)$, $y=G(x)$; $x=0$ và $x=4$. Khi $S=8$ thì $m$ bằng?

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho:
- Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{3}{4}|x|$.
- Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I_1$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $A$ và tiếp xúc với tia $Ox$.
- Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $B$ và tiếp xúc với tia $O{x}^{\prime }$.
- Parabol $(P)$ có đỉnh là $O$, qua $I_1$ và $I_2$.
(tham khảo hình vẽ dưới đây)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C),(P)$ và các đường thẳng $I_{1}A,I_{2}B$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sin x$, $y=\cos x$ và các đường thẳng $x=0$, $x=\pi$ được tính bằng công thức: