Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, nên $f$ nghịch biến trên $(2;4)$ và đồng biến trên $(4;+\infty )$. Do đó trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $f(4)=\frac{64}{3}-48+32+1=\frac{19}{3}$ → a đúng. Hàm số là đa thức nên đồ thị $(C)$ không có tiệm cận đứng → b sai. $y^{\prime }=x^2-6x+8$ → c đúng. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=\frac{8}{3}-12+16+1=\frac{23}{3}$, điểm cực đại là $\left(2;\frac{23}{3}\right)$, không phải $\left(4;\frac{19}{3}\right)$ (đây là điểm cực tiểu) → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(2;+\infty )$, hàm số nghịch biến trên $(2;4)$ rồi đồng biến trên $(4;+\infty )$, nên GTNN tại $x=4$: $f(4)=\frac{64}{3}-48+32+1=\frac{19}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số là đa thức, xác định trên $\mathbb{R}$, nên đồ thị không có tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-6x+8=x^2-6x+8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=2,4$; đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=2$ nên điểm cực đại là $\left(2;\frac{23}{3}\right)$; điểm $\left(4;\frac{19}{3}\right)$ là điểm cực tiểu.