Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. a) Trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ ta có $y^{\prime }<0$, nhưng hàm số không liên tục trên $(-2;0)$ (do $x=-1$), nên không nói hàm nghịch biến trên $(-2;0)$ → Sai. b) Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$; giao điểm là $(-1;0)$ chứ không phải $I(-1;1)$ → Sai. c) $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ (và $x=-2$); $y(0)=2$ và $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(x+1{)}^3}>0$ tại $x=0$ nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại → Sai. d) Tiệm cận xiên $y=x+1$ tức $x-y+1=0$; khoảng cách từ $O(0;0)$ là $\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → Đúng. Kết quả S, S, S, Đ khớp bảng đáp án mã đề 1002.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$, nhưng hàm không liên tục tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$; giao điểm là $(-1;0)$, không phải $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(0)=0$, $y(0)=2$, $y^{\prime \prime }(0)=2>0$ nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
TCX $y=x+1$ hay $x-y+1=0$; $d(O,\text{TCX})=\frac{1}{\sqrt{2}}$.