Cho hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}$.

a. Xét tính đơn điệu của hàm số.

b. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x+1)-(x^2-x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+x-1-x^2+x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$.

$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$ (đều thuộc $D$).

- Trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.
- Trên $(-2;-1)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
- Trên $(-1;0)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
- Trên $(0;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$; nghịch biến trên các khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.

b. Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$: $y(-2)=\frac{4+2-1}{-1}=-5$, tức điểm $A(-2;-5)$; đạt cực tiểu tại $x=0$: $y(0)=\frac{-1}{1}=-1$, tức điểm $B(0;-1)$.

Khoảng cách $AB=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(-1-(-5){)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.