Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Chia đa thức: $y=\frac{(x+2)(2x-3)+5}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$. Suy ra $y^{\prime }=2-\frac{5}{(x+2{)}^2}=\frac{2(x+2{)}^2-5}{(x+2{)}^2}=\frac{2x^2+8x+3}{(x+2{)}^2}$. Vì $(x+2{)}^2>0$ với mọi $x\ne -2$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $2x^2+8x+3$. Cho $y^{\prime }=0$: $2x^2+8x+3=0\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{10}}{2}$. Tam thức $2x^2+8x+3$ dương khi $x<\frac{-4-\sqrt{10}}{2}$ hoặc $x>\frac{-4+\sqrt{10}}{2}$, âm khi $\frac{-4-\sqrt{10}}{2}<x<\frac{-4+\sqrt{10}}{2}$ (loại $x=-2$). Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;\frac{-4-\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(\frac{-4+\sqrt{10}}{2};+\infty \right)$; nghịch biến trên $\left(\frac{-4-\sqrt{10}}{2};-2\right)$ và $\left(-2;\frac{-4+\sqrt{10}}{2}\right)$. Hàm số đạt cực đại tại $x_1=\frac{-4-\sqrt{10}}{2}$: do $x_1+2=-\frac{\sqrt{10}}{2}$ nên $\frac{5}{x_1+2}=-\sqrt{10}$, và $2x_1-3=-7-\sqrt{10}$, do đó $y_{CĐ}=2x_1-3+\frac{5}{x_1+2}=-7-2\sqrt{10}$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x_2=\frac{-4+\sqrt{10}}{2}$: do $x_2+2=\frac{\sqrt{10}}{2}$ nên $\frac{5}{x_2+2}=\sqrt{10}$, và $2x_2-3=-7+\sqrt{10}$, do đó $y_{CT}=-7+2\sqrt{10}$.