Một công ty viễn thông nghiên cứu mối quan hệ giữa thời gian truyền tín hiệu $y$ (tính bằng mili-giây) và khoảng cách truyền $x$ (tính bằng km) theo công thức: $y=\frac{3x-1}{2x-1}$. Đồ thị của hàm số được ký hiệu là (C). Dựa trên mô hình này, hãy xác định các mệnh đề sau đúng hay sai:

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$. Mệnh đề đưa ra $y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$ là sai.

b) Trên tập xác định, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không đồng thời nghịch biến trên cả hai khoảng. Mệnh đề nói hàm tăng là sai.

c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$: đúng. ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$: đúng. Mệnh đề đúng.

d) Với $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }<0$ trên tập xác định, hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ (tiệm cận ngang) và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ (tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$.