Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$ → Đúng.
b) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;3)$ → Đúng.
c) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$: trên $(-\infty ;0)$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng thời tăng), trên $(0;1)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(1;2)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(2;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$. Bảng biến thiên trong đề cho $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(1;2)$ là sai → Khẳng định Sai.
d) Cực tiểu $A(0;1)$ (vì $y(0)=1$), cực đại $B(2;5)$ (vì $y(2)=5$). Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $\frac{5-1}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+1$ hay $2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+2$: $I(1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ dương trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, âm trên $(0;1)$ và $(1;2)$; bảng trong đề sai dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(0;1)$, $B(2;5)$, đường $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.