Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, khác với $\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$ trong đề nên ý a) Sai.

b) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$ và $(1;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Tại $x=0$ đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=-2$). Ý b) Đúng.

c) Trên $(1;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(1;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên đạt giá trị nhỏ nhất $y=\frac{4-4+2}{1}=2$ tại $x=2$. Ý c) Đúng.

d) Bảng biến thiên: đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$; cực đại $y=-2$ tại $x=0$, cực tiểu $y=2$ tại $x=2$, tiệm cận đứng $x=1$, khớp với bảng trong đề. Ý d) Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm đạt cực đại tại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến trên $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt giá trị nhỏ nhất $y=2$ tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bảng biến thiên với cực đại $-2$ tại $x=0$, cực tiểu $2$ tại $x=2$, tiệm cận đứng $x=1$ khớp với hàm số đã cho.