Cho hàm số $y=\frac{(m+1)x^2-2mx+6m}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(m+1)x^2-2(m+1)x-4m}{(x-1{)}^2}$.

a) Với $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{4}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$. Đúng.

b) Với $m=0$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, âm trên $(1;2)$ và dương trên $(2;+\infty )$, nên hàm không nghịch biến trên toàn bộ $(1;+\infty )$. Sai.

c) Hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\iff (m+1)x^2-2(m+1)x-4m\ge 0$ với mọi $x\ne 1$. Với $m=-1$ thỏa mãn. Với $m\ne -1$: cần $m+1>0$ và $\Delta =4(m+1)(5m+1)\le 0\iff -1\le m\le -\frac{1}{5}$, kết hợp được $m\in \left[-1;-\frac{1}{5}\right]$. Khi đó $a=-1$, $b=-\frac{1}{5}$ nên $a+5b=-2\ne 0$. Sai.

d) Cần $y^{\prime }\ge 0$ trên $(4;+\infty )$. Với $m=-1$ thỏa. Với $m>-1$: tam thức bậc hai có hệ số dương, đỉnh tại $x=1$, nên trên $(4;+\infty )$ nó tăng và giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $f(4)=8(m+1)-4m=4m+8>0$, thỏa. Với $m<-1$: hệ số $m+1<0$, tam thức $\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, không thỏa. Vậy điều kiện cần và đủ là $m\ge -1$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-1$, $y^{\prime }=\frac{4}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ âm trên $(1;2)$ và dương trên $(2;+\infty )$, nên hàm không nghịch biến trên toàn $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện là $m\in \left[-1;-\frac{1}{5}\right]$, suy ra $a+5b=-1+5\left(-\frac{1}{5}\right)=-2\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(4;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\ge -1$, tức $m\in [-1;+\infty )$.