Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+m^2-6}{x+2}$. Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+m^2-6}{x+2}$ xác định trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x+m^2-6)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+8-m^2}{(x+2{)}^2}$. Hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }$ không đổi dấu trên từng khoảng, tức là tam thức $x^2+4x+8-m^2$ không có nghiệm phân biệt (hoặc nghiệm kép), do mẫu luôn dương. Điều kiện: ${\Delta }^{\prime }=4-(8-m^2)=m^2-4\le 0\iff -2\le m\le 2$. Các giá trị nguyên của $m$: $-2,-1,0,1,2$, tổng cộng $5$ giá trị. Vậy đáp án là $5$.