Cho hàm số $y=f(x)=7^{x^3-x^2-x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm mũ $7^{u(x)}$ xác định với mọi $x$ thực nên $D=\mathbb{R}$: đúng.
b) $f^{\prime }(x)=7^{x^3-x^2-x-1}\cdot \ln 7\cdot (3x^2-2x-1)$: đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Dấu của $f^{\prime }$: dương trên $(-\infty ;-\frac{1}{3})$, âm trên $(-\frac{1}{3};1)$, dương trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{1}{3}$ và cực tiểu tại $x=1$, không phải cực đại tại $x=1$: sai.
d) Xét $g(x)=f(e^x)$, $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(e^x)\cdot e^x$. Vì $e^x>0$, dấu của $g^{\prime }$ theo dấu của $f^{\prime }(t)$ với $t=e^x>0$. Với $t>0$: $f^{\prime }(t)<0$ khi $t\in (0;1)$ tức $x<0$, và $f^{\prime }(t)>0$ khi $t>1$ tức $x>0$. Vậy $g$ nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=0$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ với cơ số $7>0$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $f^{\prime }(x)=7^{x^3-x^2-x-1}\cdot \ln 7\cdot (3x^2-2x-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-\frac{1}{3}$ và $x=1$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-\frac{1}{3}$ (cực đại) và từ âm sang dương tại $x=1$ (cực tiểu). Vậy hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $g(x)=f(e^x)$: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(e^x)e^x$ âm khi $x<0$ (vì $0<e^x<1$ nằm trong khoảng $(-\frac{1}{3};1)$ nơi $f^{\prime }<0$) và dương khi $x>0$, nên $g$ đạt cực tiểu tại $x=0$.