Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho ${\max }_{[0;10]}f(x)=f(2)=4$. Xét hàm số $g(x)=f(x^3+x)-x^2+2x+m$. Giá trị của tham số $m$ để ${\max }_{[0;2]}g(x)=8$ là:

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đặt $t=x^3+x$. Với $x\in [0;2]$, hàm số $t(x)$ đồng biến và nhận giá trị trong đoạn $[0;10]$.
Ta có:
$$\underset{[0;2]}{\max }g(x)\le \underset{[0;2]}{\max }f(x^3+x)+\underset{[0;2]}{\max }(-x^2+2x+m)$$
$$=\underset{[0;10]}{\max }f(t)+(1+m)=4+1+m=5+m.$$
Dấu bằng xảy ra khi đồng thời $x=1$ (làm cho $-x^2+2x=1$) và $t=1^3+1=2$ (làm cho $f(t)=f(2)=4$).
Do đó ${\max }_{[0;2]}g(x)=5+m$.
Theo bài ra ${\max }_{[0;2]}g(x)=8⟺5+m=8⟺m=3$.