Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thỏa mãn $af(b)+bf(a)=1$ với mọi giá trị của $a,b\in [0;1]$. Tính tích phân $I={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=-2$. Tính $I={\int }_0^1[2f(x)-3g(x)]dx$.

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$. Khi đó ${\int }_0^1[2f(x)+e^x]dx$ bằng

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx=20$ và $f(1)=2$. Tính $I={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${\int }_0^{4}f(x)dx=8$ và ${\int }_0^{2}f(x)dx=12$. Tính $I={\int }_0^{3}f(2x-4)dx$.

Một bể bơi hình elip, có độ dài trục lớn bằng $10\text{ m}$ và trục nhỏ bằng $8\text{ m}$. Khu vực A là chứa nước, khu vực B là bậc thang lên xuống bể bơi, là nửa đường tròn có tâm là một tiêu điểm của elip, bán kính bằng $1\text{ m}$. Phần còn lại là khu vực C (phần tô đậm) người ta lát gạch như hình vẽ.

Nếu chi phí lát gạch cho mỗi mét vuông là $400$ nghìn đồng thì chi phí lát gạch ở khu C là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

Cho hàm số bậc hai $f(x)$. Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt đường thẳng $y=9x+8$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_A=-1,x_B=4$. Tính $I={\int }_{-1}^4{f}^{\prime }(x)dx$.