Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I(2;1;1)$ có bán kính bằng $4$ và mặt cầu $(S_2)$ có tâm $J(2;1;5)$ có bán kính bằng $2$. $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$. Đặt $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$. Giá trị $M+m$ bằng.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$, $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}$. Đường thẳng $(\Delta )$ song song với mặt phẳng $(P)$, cách $(P)$ một khoảng bằng $2\sqrt{3}$ đồng thời cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$. Biết điểm $A$ có hoành độ dương. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà (xem hình vẽ bên) có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng $(\alpha ):y-z-5=0$. Hai mái nhà (coi như là hai phần mặt phẳng) lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(P):2x-3y+z-6=0$, $(Q):2x+y-3z+10=0$. Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) đến sàn nhà là bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-1;1;-3)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+3=0$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$ và điểm $S(2;0;3)$. Đường thẳng $(\Delta )$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+(2a-2)t\\ y=-2+at\\ z=-4+t\end{array}$, trong đó $t$ là tham số và $a,t\in \mathbb{R}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $S$ và $(\Delta )$, đường thẳng vuông góc với $(\alpha )$ tại $S$ cắt $(P)$ tại $N$. Khoảng cách $SN$ ngắn nhất bằng $\frac{m\sqrt{30}}{n},m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $(m,n)=1$. Tính giá trị biểu thức $m^2-n-1$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;4;2)$ và $B(3;2;6)$. Gọi $M(a;b;c)\in (Oxy)$ mà $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất thì tổng $a+b+c$ bằng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;0;1)$ và mặt phẳng $(P):2x+y+2z+5=0$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là