Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc bốn. Biết $f(0)=0$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có hình vẽ bên dưới.

[IMAGE_1]

Tập nghiệm của phương trình $f(|2\sin x-1|-1)=m$ (với $m$ là tham số) trên đoạn $[0;3\pi ]$ có tối đa bao nhiêu phần tử?

Đặt $2\sin x-1=t,x\in [0;3\pi ]\Rightarrow t\in [-3;1]$.

Vì $f^{\prime }(x)$ là hàm đa thức bậc ba nên $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Dựa vào đồ thị ta có $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2$.

Từ $f(0)=0$ suy ra $f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=1-\sqrt{3}</td></tr><tr><td>x=1+\sqrt{3}</td></tr></tbody></table>$. Từ đây ta có BBT:

[IMAGE_1]

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f(|t|-1)=m$ có tối đa $4$ nghiệm $t\in (-1;1)$.

Với mỗi giá trị $t\in (-1;1)$ thì phương trình $2\sin x-1=t$ có tối đa $4$ nghiệm trên $[0;3\pi ]$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $f(|2\sin x-1|-1)=m$ có tối đa $16$ phần tử.