Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f^{\prime }(x)\cdot f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$, khẳng định nào sau đây đúng?

Hai hàm số $y=f(x)$; $y=g(x)$ đều là những hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ bên. Tính diện tích phần tô đậm (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Cho ${\int }_1^{6}f(x)dx=5$, ${\int }_1^{6}g(x)dx=-3$. Tính ${\int }_1^6\left[5f(x)-4g(x)\right]dx$.

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(x+1)\cos 2xdx$. Đặt $u=x+1,dv=\cos 2xdx$ thì $I$ bằng

Nếu ${\int }_0^1\left[2f(x)-3x^2\right]dx=4$ thì ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+2$ $(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0)$ có đồ thị $(C)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị $(P)$ đi qua gốc tọa độ. Biết hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$ và $(P)$ lần lượt là $-1;1;2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng

Nếu ${\int }_1^2[4f(x)-2x]\mathrm{d}x=1$ thì ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$ bằng