Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(0)\ge -1$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.

Hàm số $y=f(x)-\frac{x^3}{3}+x^2-x+2$ có giá trị nhỏ nhất là $m\in (0;1)$ khi và chỉ khi

Xét $g(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}+x^2-x+2$.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x^2+2x-1=f^{\prime }(x)-(x-1{)}^2$.
$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2$.
Vẽ parabol $(P):y=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$, ta thấy $(P)$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại ba điểm có hoành độ $x=0,x=1,x=2$.

Từ bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$:
- Trên $(-\infty ;0)$, $g^{\prime }(x)<0$.
- Trên $(0;1)$, $g^{\prime }(x)>0$.
- Trên $(1;2)$, $g^{\prime }(x)<0$.
- Trên $(2;+\infty )$, $g^{\prime }(x)>0$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ chỉ có thể đạt tại $x=0$ hoặc $x=2$.
Ta có $g(0)=f(0)+2\ge -1+2=1$.
Để $\min g(x)=m\in (0;1)$, bắt buộc GTNN phải đạt tại $x=2$ và thoả mãn:
$0<g(2)<1\iff 0<f(2)-\frac{8}{3}+4-2+2<1\iff 0<f(2)+\frac{4}{3}<1\iff -\frac{4}{3}<f(2)<-\frac{1}{3}.$
Kết hợp các phương án đã cho, điều kiện cần là $f(2)<-\frac{1}{3}$.