Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x-1}$ có đồ thị cắt trục tung tại điểm $A(0;1)$, tiếp tuyến tại $A$ có hệ số góc bằng $-3$. Khi đó giá trị $a,b$ thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

Một thông tin nóng hổi bắt đầu lan truyền trong một cộng đồng gồm $20$ nghìn người. Gọi $P(t)$ là số lượng người đã biết thông tin này sau $t$ giờ. Tại thời điểm ban đầu ($t=0$), có $2$ nghìn người biết tin. Sau $2$ giờ, số người biết tin tăng lên thành $8$ nghìn người. Tốc độ lan truyền tin tức $P^{\prime }(t)$ (nghìn người/giờ) tỉ lệ thuận với tích của số người đã biết tin và số người chưa biết tin, thỏa mãn đẳng thức $P^{\prime }(t)=\frac{r}{20}P(t)[20-P(t)]$ (với $r>0$ là hệ số lan truyền).
Đặt $Q(t)=\frac{1}{P(t)}-\frac{1}{20}$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

Đạo hàm của hàm số $y=\frac{{\log }_{3}x}{x}$, $(x>0)$ là

Đạo hàm của hàm số $y=x\ln x$ trên khoảng $(0;+\infty )$ là

Số dân của một xã tại Tỉnh Quảng Trị sau $t$ năm kể từ năm $2025$ được tính bởi công thức $f(t)=\frac{260t+100}{t+5}$ ($f(t)$ được tính bằng nghìn người). Đạo hàm $f^{\prime }(t)$ của hàm số $f(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm). Hỏi vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là $0,75$ nghìn người/năm?

Số dân của một xã tại Tỉnh Quảng Trị sau $t$ năm kể từ năm $2026$ được tính bởi công thức $f(t)=\frac{260t+100}{t+5}$ ($f(t)$ được tính bằng nghìn người). Đạo hàm $f^{\prime }(t)$ của hàm số $f(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm). Hỏi vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là $0,48$ nghìn người/năm?

Cho hàm số $y=\frac{2x-2}{x+2}$ có tập xác định là $D$. Hàm số đã cho có đạo hàm trên $D$ là