Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$; ${\int }_1^{3}f(x)dx=6$. Tính $I={\int }_0^{3}f(x)dx$.

Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3x-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=2,x=3$ được xác định bằng công thức

Câu 5: Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi một phần đồ thị Parabol $(P)$ và đoạn thẳng $AB$. Biết $AB=8$ và khoảng cách từ đỉnh $(P)$ đến $AB$ bằng 2. Lấy hai điểm $C$ và $D$ nằm trên $(P)$ sao cho $CD$ song song với $AB$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$ và $CD$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $CD$ và $AB$ (tham khảo hình vẽ). Biết $S_1=S_2$, tính độ dài đoạn thẳng $CD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)dx=5$ thì ${\int }_0^2[2f(x)-1]dx$ bằng

Cho ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$. Tính $I={\int }_0^2(1+2f(x))\mathrm{d}x$.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ ($a<b$) được cho bởi công thức nào sau đây?

Để chuẩn bị quà tặng sinh nhật đặc biệt cho các thành viên trong câu lạc bộ nghệ thuật, người ta đặt hàng chế tác một vật phẩm chặn giấy bằng hợp kim cao cấp. Bề mặt của vật phẩm có dạng hai hình elip bằng nhau xếp chồng lên nhau. Biết mỗi elip có độ dài trục lớn bằng $8\text{ cm}$, độ dài trục nhỏ bằng $\frac{8}{\sqrt{3}}\text{ cm}$; trục lớn của elip này vuông góc với trục lớn của elip kia tại giao điểm $O$ của chúng. Đường tròn $(O)$ đi qua các giao điểm của hai elip được vẽ lên bề mặt để phân chia các khu vực trang trí (như hình vẽ).

Phần lõi bên trong đường tròn được dát đồng để khắc tên và lời chúc sinh nhật với chi phí $5.000{\text{ đoˆˋng/cm}}^2$. Các phần cánh hoa nằm phía ngoài đường tròn được đính đá Sapphire nhân tạo với chi phí $15.000{\text{ đoˆˋng/cm}}^2$. Hỏi tổng chi phí nguyên vật liệu để chế tác một vật phẩm quà tặng này là bao nhiêu nghìn đồng? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).