Cho hàm số $f(x)$ có $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\cos }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó ${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx$ bằng

Diện tích hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ dưới bằng


Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=-2$ và ${\int }_1^5(2f(x))dx=8$. Tính ${\int }_0^{5}f(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và diện tích hình phẳng trong hình bên là $S_1=3,S_2=10,S_3=5,S_4=6,S_5=16$.


Tính tích phân ${\int }_{-3}^{4}f(|x+1|)dx$.

Biết ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+7x+12}=a\ln 5+b\ln 4+c\ln 3$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba như hình vẽ, đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng $-\frac{1}{2}$.


Biết ${\int }_{-\frac{5}{2}}^{-1}x{f}^{\prime \prime }(x+2)dx=\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số tối giản. Tính $m^2+n$.

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=-2$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=1$ thì ${\int }_0^1[2022f(x)+2023g(x)]dx$ bằng