Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}& \text{khi }x>0\\ mx+m+\frac{1}{4}& \text{khi }x\le 0\end{array}$, $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để hàm số có giới hạn tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các giới hạn một bên tại $x=0$.
- Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}$.
- Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\left(mx+m+\frac{1}{4}\right)=m+\frac{1}{4}$.
Hàm số có giới hạn tại $x=0$ khi và chỉ khi hai giới hạn một bên bằng nhau: $m+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow m=0$. Vậy chọn C.