Cho các mệnh đề:
1. Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b)<0$ thì tồn tại $x_0\in (a;b)$ sao cho $f(x_0)=0$.
2. Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $f(a).f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm.
3. Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục, đơn điệu trên $[a;b]$ và $f(a).f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano). Mệnh đề 1: hàm chỉ liên tục trên khoảng mở $(a;b)$, chưa liên tục trên đoạn đóng $[a;b]$, nên không thể kết luận tồn tại $x_0\in (a;b)$ với $f(x_0)=0$. Ví dụ phản ví dụ: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x=a\\ x-a-\frac{b-a}{2},& x\in (a;b)\\ 1,& x=b\end{array}$ liên tục trên $(a;b)$, có $f(a)f(b)=-1<0$ nhưng không có nghiệm trong $(a;b)$ nếu chọn sao cho giới hạn hai bên cùng dương (ví dụ $f(x)={\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$ trên $(a;b)$, $f(a)=-1$, $f(b)=1$ thì $f(a)f(b)<0$ nhưng $f(x)>0$ trên $(a;b)$). Vậy mệnh đề 1 SAI. Mệnh đề 2: hàm liên tục trên đoạn đóng $[a;b]$ và $f(a)f(b)<0$ thì theo định lý giá trị trung gian, tồn tại $x_0\in (a;b)\subset [a;b]$ với $f(x_0)=0$, tức phương trình $f(x)=0$ có nghiệm. Vậy mệnh đề 2 ĐÚNG. Mệnh đề 3: từ mệnh đề 2, phương trình có nghiệm; vì $f$ đơn điệu trên $[a;b]$ nên nghiệm không thể có hai giá trị phân biệt (nếu $x_1<x_2$ cùng là nghiệm thì $f(x_1)=f(x_2)=0$, mâu thuẫn với đơn điệu ngặt). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất, mệnh đề 3 ĐÚNG. Kết luận: có đúng một mệnh đề sai (mệnh đề 1), đáp án D.