Cho hàm số chẵn $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_{-1}^1\frac{f(2x)}{1+5^x}dx=8$. Giá trị của ${\int }_0^{2}f(x)dx$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=1$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(1-x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-3& \text{khi }x\ge 0\\ 3x^2-2x-1& \text{khi }x<0\end{array}$. Tích phân ${\int }_0^{\pi /2}f(2\sin x-1)\cos xdx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(4)=2023$, ${\int }_0^{4}f(x)dx=2024$. Biểu thức ${\int }_0^{2}x\cdot f^{\prime }(2x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$, biết rằng $f(1)=0$ và với mọi $x$ dương thì $f(x)=x+(x^2+x)f^{\prime }(x)$. Các số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x(x+1)}dx=a\ln 3+b\ln 2+c$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(8)+G(8)=15$ và $F(2)+G(2)=3$. Khi đó ${\int }_1^{3}f(3x-1)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa f  x   3 f  2 x  . Gọi F  x  là nguyên hàm của f  x 
2
trên  thỏa mãn F  4   3 và F  2   4 F  8   0 . Khi đó  f  3 x  2  dx bằng
0