Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình bên dưới.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: cực đại (0;1), cực tiểu (2;-3) ⇒ d=1, f'(0)=c=0, f'(2)=12a+4b=0 ⇒ b=-3a; f(2)=8a+4b+d=-4a+1=-3 ⇒ a=1, b=-3. Vậy f(x)=x³-3x²+1.
a) a=1, b=-3, c=0, d=1: chỉ có 2 số dương (a, d) ⇒ sai.
b) a+b+c+d=1-3+0+1=-1 ⇒ đúng.
c) y=f(f(x)-2): y'=f'(f(x)-2)·f'(x)=0 khi x=0, x=2 (khi đó f'(f(x)-2)≠0 vì f(0)-2=-1, f(2)-2=-5 đều khác 0; 2) hoặc f(x)-2∈{0;2} tức f(x)=2 hoặc f(x)=4. Vì max f=1<2 nên mỗi phương trình có đúng 1 nghiệm đơn ⇒ tổng 4 điểm cực trị, không phải 5 ⇒ sai.
d) TCĐ khi f²(x)-f(x)=0 (f(x)=0 hoặc f(x)=1), tử khác 0, trong miền x≤2. f(x)=0: x³-3x²+1=0 có 3 nghiệm ≈ -0,53; 0,65; 2,88, hai nghiệm đầu thuộc miền x<2. f(x)=1: x²(x-3)=0 ⇒ x=0 (nghiệm kép, tử √2≠0 nên vẫn là TCĐ) và x=3>2 loại. Tổng 3 TCĐ: x≈-0,53; x≈0,65; x=0 ⇒ đúng. Tại x=2 mẫu bằng f²(2)-f(2)=9+3=12≠0 nên không phát sinh TCĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
a=1, b=-3, c=0, d=1 nên chỉ có 2 số dương (a, d).
b) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c+d=1+(-3)+0+1=-1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại x=0, x=2 và tại nghiệm đơn của f(x)=2, f(x)=4 (mỗi phương trình có 1 nghiệm vì max f=1<2): tổng 4 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong miền x≤2: f(x)=0 có 2 nghiệm (x≈-0,53; 0,65) và f(x)=1 có nghiệm x=0 (nghiệm kép vẫn cho TCĐ vì tử √2≠0), tổng 3 TCĐ.