Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau: Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Tính giá trị cực tiểu của hàm số $y=\frac{4x^2+1}{x}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^3-2x^2+x,\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $y=x^3+9x^2-10$. Điểm M(a; b) là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Giá trị b − a bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Giá trị cực đại của hàm số $y=f(x)$ là:

Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là $50$ feet, người ta có thể làm như sau:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O$ là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục $Ox$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là feet. Chọn hai vị trí $A$, $B$ lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được tọa độ hai điểm $A$, $B$ và góc dốc $\alpha$ tại điểm $B$ của sườn đồi. Giả sử ta có $A(-1000;60)$, $B(1000;90)$ và $\tan \alpha =0,04$. Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, quan sát đường cong mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$ sao cho trong hệ trục tọa độ $Oxy$, đồ thị hàm số đó trên đoạn $[-1000;1000]$ mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: $\alpha$ là góc tạo bởi tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó và chiều dương của trục $Ox$. Tính khoảng cách từ điểm thấp nhất của đoạn đường đến vị trí hai sườn đồi giao nhau (làm tròn đến hàng đơn vị).

Biết rằng đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2+5$ có điểm cực tiểu là A. Tính độ dài đoạn thẳng OA với O là gốc tọa độ.