Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình sau:

Đồ thị hàm số $g(x)=\frac{(x^2+3x+2)\sqrt{x+1}}{f^2(x)-4f(x)}$ có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng?

Điều kiện $x\ge -1$. Tử số là $(x+1)(x+2)\sqrt{x+1}=(x+2)(x+1{)}^{\frac{3}{2}}$. Mẫu số $f(x)[f(x)-4]=0\iff f(x)=0$ (nghiệm kép $x=1$ và nghiệm đơn $x=-2<-1$) hoặc $f(x)=4$ (nghiệm kép $x=-1$ và nghiệm đơn $x=2$). Tại $x=-1$, mẫu có nghiệm bội $2$ trong khi tử có bậc $\frac{3}{2}<2$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}|g(x)|=+\infty$. Kết hợp với $x=1$ và $x=2$, đồ thị hàm số $g(x)$ có $3$ tiệm cận đứng.