Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2 x + 4 y + 8 z = 4 . Gọi M , N lần lượt là giá trị lớn
x y z
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + + . Đặt T = 2 M + 6 N , khẳng định nào sau
6 3 2
đây là đúng?

Chọn A
2 x + 4 y + 8 z = 4 $\iff$ 2 x + 2 2 y + 23 z = 4 .
64
Ta có 4 = 2 x + 22 y + 23 z \ge 3. 3 2 x + 2 y +3 z $\iff$ 2 x + 2 y +3 z \le $\iff$ x + 2 y + 3 z \le 6 - 3log 2 3 .
27
1 1
Khi đó S \le 1 - log 2 3 . Suy ra M = 1 - log 2 3 .
2 2

a = 2 x $\Rightarrow$ x = log 2 a

 1
Đặt b = 4 y = 22 y $\Rightarrow$ y = log 2 b , khi đó a + b + c = 4 $\Rightarrow$ b + c = 4 - a .
 2
 1
c = 8 = 2 $\Rightarrow$ z = 3 log 2 b
y 3z

Do x, y, z \ge 0 nên a, b, c \ge 1 , ta có

( b - 1)( c - 1) \ge 0 $\iff$ bc \ge ( b + c ) - 1 $\iff$ bc \ge 4 - a - 1 $\iff$ bc \ge 3 - a $\iff$ abc \ge a ( 3 - a ) .
3 9
Xét f ( x ) = 3a - a 2 đạt GTNN trên a $\in$ 1; +$\infty$ ) là f   = .
2 4
9
Suy ra abc \ge 3a - a 2 \ge .
4
x y z 1 1 9
Mặt khác S = + + = log 2 ( abc ) \ge log 2   .
6 3 2 6 6 4

1 1 1
Khi đó N = ( 2 log 2 3 - 2 ) = log 2 3 - .
6 3 3

 1  1 1
 T $\in$ (1; 2 ) .
Vậy T = 2 M + 6 N = 2 1 - log 2 3  + 6  log 2 3 -  = log 2 3 
 2  3 3