Cho $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1$ và $\underset{1}{\overset{3}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=-2$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[2f(x)+3g(x)\right]\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $y=f(x)=\sin x$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$.

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=-1$. Giá trị của $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $(a\ne 0)$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$, ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $[0;2]$.

Biết $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Tính ${\int }_0^1\left[1+f(x)\right]dx$.

Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A1 dự kiến dựng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?

Cho $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=2$, $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f(t)dt=6$. Khi đó, $\underset{3}{\overset{4}{\int }}f(x)dx$ bằng