Câu 6: Một công ty đang thiết kế một bảng quảng cáo hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=12\text{ m}$ và $AD=8\text{ m}$. Phần trung tâm của bảng để in nội dung quảng cáo được mô tả là phần tô đậm (xem hình minh họa). Hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này đều cách điểm $A$ một khoảng bằng $5\text{ m}$. Đồ thị giao với cạnh $AB$ tại điểm $E$ thỏa mãn $\frac{AE}{AB}=\frac{7}{15}$. Diện tích phần in nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 6 (Phần III, câu 22) có đáp số là $64.2$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O\equiv A(0;0)$, trục $Ox$ chứa cạnh $AB$, trục $Oy$ chứa cạnh $AD$. Khi đó $B(12;0)$, $D(0;8)$, $C(12;8)$.

Vì hai đường tiệm cận đều cách $A(0;0)$ một khoảng bằng $5\text{ m}$ nên:
- Tiệm cận đứng có phương trình $x=5$.
- Tiệm cận ngang có phương trình $y=5$.

Hàm phân thức có dạng: $y=5+\frac{k}{x-5}$.
Điểm $E$ thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn $\frac{AE}{AB}=\frac{7}{15}⟹AE=12\cdot \frac{7}{15}=5,6\text{ m}$.
Vậy $E(5,6;0)$ thuộc đồ thị hàm số:
$0=5+\frac{k}{5,6-5}⟹\frac{k}{0,6}=-5⟹k=-3.$
Phương trình đồ thị hàm số là: $y=5-\frac{3}{x-5}$.

Xét hai phần màu trắng không in nội dung quảng cáo:
- Phần trắng thứ nhất ở góc dưới bên phải: giới hạn bởi đồ thị $y=5-\frac{3}{x-5}$, cạnh $AB$ ($y=0$, từ $x=5,6$ đến $x=12$) và cạnh $BC$ ($x=12$):
$S_1={\int }_{5,6}^{12}\left(5-\frac{3}{x-5}\right)\mathrm{d}x={\left[5x-3\ln |x-5|\right]}_{5,6}^{12}=(60-3\ln 7)-(28-3\ln 0,6)=32-3\ln \left(\frac{7}{0,6}\right)\approx 24,63{\text{ m}}^2.$

- Phần trắng thứ hai ở góc trên bên trái: giao của đồ thị với cạnh $AD$ ($x=0$): $y=5-\frac{3}{-5}=5,6$. Giao với cạnh $CD$ ($y=8$): $8=5-\frac{3}{x-5}⟹x-5=-1⟹x=4$. Diện tích phần trắng thứ hai là:
$S_2={\int }_0^4\left(8-\left(5-\frac{3}{x-5}\right)\right)\mathrm{d}x={\int }_0^4\left(3+\frac{3}{x-5}\right)\mathrm{d}x={\left[3x+3\ln |5-x|\right]}_0^4=(12+0)-(0+3\ln 5)=12-3\ln 5\approx 7,17{\text{ m}}^2.$

Tổng diện tích bảng quảng cáo là $S_{ABCD}=12\cdot 8=96{\text{ m}}^2$.
Diện tích phần in nội dung quảng cáo (phần tô đậm) là:
$S=S_{ABCD}-S_1-S_2\approx 96-24,63-7,17=64,2{\text{ m}}^2.$

Đáp số: 64,2.