Câu 4: Một bể chứa dầu ban đầu có $50000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ và $0\le t\le 24$. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 4 (Phần II, câu 16): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Lời giải chi tiết:

- a) ĐÚNG: Theo định nghĩa, tốc độ tăng thể tích $V^{\prime }(t)=f(t)=k\sqrt{t}$, do đó hàm số $V(t)$ là một nguyên hàm của $f(t)$.

- b) ĐÚNG: Ta có $V(t)=\int k\sqrt{t}\mathrm{d}t=k\cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2k}{3}t\sqrt{t}+C$.

- c) SAI: Ban đầu $V(0)=50000⟹C=50000$. Sau 4 giờ: $V(4)=\frac{2k}{3}\cdot 4\cdot 2+50000=\frac{16k}{3}+50000=58000⟹\frac{16k}{3}=8000⟹k=1500$. Vậy $V(t)=1000t\sqrt{t}+50000$. Sau 16 giờ bơm liên tục: $V(16)=1000\cdot 16\cdot 4+50000=64000+50000=114000$ lít, không phải $148000$ lít.

- d) SAI: Nếu dầu bị rò rỉ với tốc độ $500$ lít/giờ thì tốc độ biến thiên thể tích thực tế là $V_1^{\prime }(t)=k\sqrt{t}-500$. Thể tích dầu tại $t=9$ giờ là: $V_1(9)=50000+{\int }_0^9(1500\sqrt{t}-500)\mathrm{d}t=50000+1000\cdot 9\cdot 3-500\cdot 9=50000+27000-4500=72500$ lít, không phải $72000$ lít.